Espacios Vectoriales, Espacios y Subespacios
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío VV de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a los diez axiomas que se dan a continuación. Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores uu, vv y ww en VV y todos los escalares αα y ββ reales.
Llamamos u+vu+v a la suma de vectores en VV, y αvαv al
producto de un número real αα por un vector v∈Vv∈V.
1. u+v∈Vu+v∈V
2. u+v=v+uu+v=v+u
3. (u+v)+w=u+(v+w)(u+v)+w=u+(v+w)
4. Existe un vector nulo 0V∈V0V∈V tal que v+0V=vv+0V=v
5. Para cada vv en VV, existe un opuesto (–v)∈V(–v)∈V tal
que v+(–v)=0Vv+(–v)=0V
6. αv∈Vαv∈V
7. α(u+v)=αu+αvα(u+v)=αu+αv
8. (α+β)v=αv+βv(α+β)v=αv+βv
9. α(βv)=(αβ)vα(βv)=(αβ)v
10. 1v=v
En álgebra abstracta, el espacio vectorial (o espacio
lineal) es una estructura algebraica creada por conjuntos no vacíos,
operaciones internas (llamadas sumas, definidas para los elementos del
conjunto) y operaciones externas (llamadas producto de productos). Escalar,
definido entre el grupo y otro grupo (con estructura corporal), tiene 8
propiedades básicas.
Los espacios vectoriales se pueden utilizar en otras ramas
de las matemáticas, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como la
serie de Fourier, en rutinas modernas de compresión de imagen y sonido, o
proporcionan un marco para resolver ecuaciones derivadas parciales. Además, el
espacio vectorial proporciona una forma abstracta sin coordenadas de tratar con
objetos geométricos y físicos como tensores, lo que a su vez permite el uso de
técnicas de linealización para estudiar las características locales de las
variedades.
Sea H un subconjunto no vacío del espacio vectorial V, y suponga que el propio H es el espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación del escalar definido en V. Entonces decimos que H es un subespacio de V.
Hay varios ejemplos de subespacios, pero, primero,
demostraremos un resultado que hace que sea relativamente fácil determinar si
un subconjunto de V es en realidad un subespacio de V.
Un subconjunto no vacio de H de un espacio vectorial V es un
sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:
Reglas de cerradura para ver si un subconjunto
no vació es un sub espacio
1) Si x € H y y € H,
entonces x + y € H.
2) Si x € H, entonces
αx € H para todo escalar α.
Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos
reglas de cerradura se deberán cumplir. De lo contrario, para demostrar que es
un espacio vectorial, se deberá demostrar que los axiomas i) a x) de la
definición cumplen bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicación
por un escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) y
iv)] se cumplen por hipótesis, como los vectores en H son también vectores en
V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva y multiplicativa
[axiomas ii), v), vii), viii), ix) y x)] se
cumplen.
1). El vector cero de V está en H.2
2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v H, la suma u + v está en H.
3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.
Sonríe Yahshua te ama
Excelente, ese video le ayudará mucho con la actividad propuesta
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